ЭКОНОМИКА И БИЗНЕС: теория и практика

МЕТОД СТОХАСТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ЛОГИСТИЧЕСКОЙ ИНФРАСТРУКТУРЫ

 

О.Ф. Быстров, д-р экон. наук, профессор

М.Д. Бокарева, студент

Е.И. Соколова, студент

Московский государственный университет путей сообщения Императора Николая II «МИИТ»

(Россия, г. Москва)

 

Аннотация. Ряд задач экономики сводится к поиску значений управляемых переменных, доставляющих оптимальное значение некоторой целевой функции – стоимости перевозок, грузооборота и т.п. При этом для решения подобных задач наряду с методами математического анализа и математического программирования может успешно использоваться последовательный симплексный метод.

Ключевые слова: последовательный симплексный метод (ПСМ), симплексный поиск, деформация симплекса.

 

Сущность ПСМ состоит в том, что движение к оптимуму в k-мерном пространстве управляемых переменных xi осуществляется последовательным отражением вершин симплекса. В k-мерном  евклидовом пространстве k-мерный симплекс представляет собой фигуру, образованную k+1 точками (вершинами).

В одномерном пространстве симплекс есть отрезок прямой, в двумерном – треугольник, в трехмерном – тетраэдр. В ПСМ используются регулярные симплексы (расстояния между вершинами равны). Алгоритм перемещения симплекса в сторону цели состоит в зеркальном отражении вершины с наихудшим значением целевой функции. Например, при поиске максимума целевой функции целесообразно движение от вершины Vs с наименьшим значением W к противоположной грани симплекса. Важное преимущество симплексного поиска перед другими методами состоит в том, что на каждый шаг требуется всего одно измерение целевой функции  W, что значительно повышает эффективность поисковой оптимизации.

Вместе с тем постоянный размер симплекса не обеспечивает одновременно высокую скорость движения симплекса в начале поиска и точность отыскания экстремума на заключительном этапе оптимизации. Поэтому для достижения быстрого и точного решения требуется измерение размеров симплекса в процессе поиска. Деформация симплекса предусматривает сокращение или увеличение расстояния L между его вершинами с сохранением одной из них.  В качестве последней можно выбрать вновь полученную вершину, либо вершину с наилучшим значением целевой функции y. При этом размеры ребер симплекса в процессе поиска определяются следующей зависимостью:

 

Ln=L0 * yn,                   (1)

где n –номер шага;

yn – числовая последовательность, определяющая закон изменения шага.

Важно помнить о том, что шаги симплекса за пределы факторного пространства и в обратном направлении запрещены.

ПСМ является достаточно эффективной оптимизационной процедурой для широкого класса задач, связанных с поиском минимума/максимума унимодальных функций. В задачах глобальной оптимизации ПСМ приходится использовать многократно, каждый раз изменяя координаты центра начального симплекса. Эффективность глобальной оптимизации в ряде случаев может быть существенно увеличена, если процедуре ПСМ придать свойства так называемого «случайного поиска».

Рассмотрим данный метод на конкретной задаче.

В регионе имеются три карьера природного сырья. Для освоения данных месторождений планируется построить горный обрабатывающий комбинат (ГОК). Координаты карьеров следующие: К1 (10;90), К2 (90;10), К3 (80;80).

Стоимость перевозки 1 тонны сырья на 1 километр составляет: для первого карьера – 500 у.е., для второго – 600 у.е. и для третьего – 700 у.е.

Требуется выбрать оптимальное место для строительства ГОК, обеспечив минимум транспортных издержек.

В качестве целевой функции воспользуемся выражением:

 

 

В системе координат XY изобразим исходный симплекс со стороной в 15 км и местосположение карьеров.

 

 

Рис. 1. Исходные данные для поиска координат ГОК

 

Алгоритм метода:

1. Рассчитаем W для трёх вершин начального симплекса.

2. Найдем сумму W1, W2, W3.

3. Найдем р1, р2, р3:

рi = Wi / ∑Wj; j= 1,3.                               (3)

4. На отрезке числовой оси отметим значения р1 и (р1 + р2) в интервале от 0 до 1.

5. С помощью генератора случайных чисел (ГСЧ) получаем число α є R (0;1), отмечаем его на отрезке числовой оси. В зависимости от того, в какой из трех образовавшихся интервалов 1, 2 и 3 попадет число, ту вершину и отражаем.

Оптимальным месторасположением ГОК является  вершина, в которой значение W окажется минимальным в последнем симплексе.

Траектория поисковой оптимизации для n = 4 шагов представлена на рис. 2.

 

 

Таким образом, нами рассмотрена методика стохастической оптимизации логистической инфраструктуры, которая является универсальной и обладает, согласно закону больших чисел, вероятностной сходимостью к правильному результату.

 

Библиографический список

1. Балдин К.В. Математические методы в экономике. Теория, примеры, варианты контрольных работ: Учеб. пособие / К.В. Балдин, О.Ф. Быстров – М.: Издательство Московского психолого-социального института; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 2003. – 112 с.

2. Быстров О.Ф., Мальцев A.B., Охотников Г.Н., Ролдугин В.Д., Торбин В.У. Теоретические основы моделирования военно-технических систем / Учебник под редакцией Быстрова О.Ф. – М: МО СССР РВСН, 1993. – 488  с.

 

 

STOCHASTIC METHOD OF OPTIMIZATION OF LOGISTICS INFRASTRUCTURE

 

O.F. Bystrov, doctor of economic sciences, professor

M.D. Bokareva, student

E.I. Sokolova, student

Moscow state university of railway engineering of emperor Nicholas II «MIIT»

(Russia, Moscow)

 

Abstract. A number of problems in economics is reduced to finding the values of the controlled variables, delivering optimal value of some objective function — the cost of transport, freight turnover, etc. At the same time to solve these problems, along with the methods of mathematical analysis and mathematical programming sequential simplex method can be used successfully (PSM).

Keywords: serial simpleksnyj methods (PSM), simpleksnyj search, deformation simplex.